数学是将具体的问题抽象化为空间形式与数量关系的学问，数学思维是按照数学规律考察和研究对象的思维方法。数学思维是抽象思维，属于高级思维形式。但是思维形式之间并没有严格的界限，常常相互渗透。思维活动借助的符号可以是感性思维中的表象，也就是记忆元素，其中包括了数量关系和空间关系的估算，所以艺术活动中也常常渗透着数学思维。

　　艺术中数量关系的和谐

　　古希腊哲学家毕达哥拉斯以及毕达哥拉斯学派的哲学是数学思维的典型代表。他们认为，“数，乃万物之原因和根本”，“万物皆由数构成”。毕达哥拉斯学派“万物皆数”的本体论命题，也被运用于对艺术领域的分析。他们注重和谐的概念，而和谐离不开数量关系。毕达哥拉斯发现了音的高低和振动的弦长距离的关系，是最早运用数学思维思考音乐和谐问题的学者。他的弟子阿尔居塔斯还研究了音程现象（音声与音声在高度上的距离）。毕达哥拉斯学派揭开了西方研究数学与音乐关系之序幕。后来，开普勒、伽利略、欧拉、傅立叶、哈代等思想家对此都做过专门研究。数学学说成为西方音乐思想的基础之一。

　　基于数量关系的和谐，能够说明数学思维在艺术领域运用的普遍性。在美术作品中也是这样。具有数学原理基础的透视法在绘画中的运用，是西方艺术发展史上的重要里程碑。文艺复兴时期的艺术大师达·芬奇对透视学作出了巨大贡献，他说：“任何人类的探索活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学这种表达方式和经过数学证明为自己开辟道路。”他认为，绘画的目的是再现自然界，而绘画的价值就在于精确地再现，故而绘画是一门科学，同其他科学一样，其基础是数学。

　　对于形体的审美评价也倚重于数量描述。比如，大大的眼睛、苗条的身材等。反之亦然，五短身材、眼斜嘴歪等负面审美判断也是依据数量、位置等数学关系。因此，绘画构图中要考虑形体的结构和比例。著名的黄金分割比例在绘画和设计中的运用，充分证明了这一点。

　　除了简单的形体构图，色彩和明暗的设计也反映了数学思维。比如，色调的冷暖程度、色系或明暗的过渡，都有个比例关系。超过一定的比例就是夸张，背离了艺术的真实。比如，“明眸善睐”固然是女孩可爱的标志，但没有必要把人的眼睛画成探照灯的亮度。

　　当然，艺术的真实与客观真实并不等同。在绘画等艺术中的事物之数量关系不必完全与现实事物相同。艺术创造所运用的符号形式在尺度上本身就包含有适当的弹性。比如，绘画固然可以反映现实中美的事物之原貌，但不必追求百分之百的“真实”，包括各种数量比例关系。这就是摄影技术出现之后，绘画（包括强调透视法的西方绘画）并没有被取代的原因。

　　尽管如此，艺术的真实仍然不能脱离现实。中国画没有被视觉规律（比如透视原理和色彩搭配）所束缚，为想象和意境留有余地，却也没有过于偏离现实事物外形中蕴含的数量关系的规律。当人们欣赏水墨山水的时候，心中流淌的是和谐的旋律。

　　另外，中国古代建筑讲究对称、方正。其中，既有审美的追求，也运用了数学思维。“斗拱”结构是中国古代建筑所特有的形制。斗与拱，均为我国木结构建筑中的支承构件，在立柱和横梁交接处。从柱顶探出的弓形肘木叫拱，拱与拱之间的方形垫木叫斗。斗拱承重结构，可使屋檐较大程度外伸，不仅形式优美，而且对称的结构能够达到作用力的平衡，使得建筑物具有稳定性。斗拱的运用使中国古代建筑艺术流芳千古，其中离不开精密的力学计算等数学思维。

　　艺术形式的数量规定性

　　音乐和谐中所蕴含的数量规定性，能够成为不同艺术类型相互沟通的基础。西方美学史中有“美在形式”的命题，从某种角度来看，这可以诠释为“美在数量关系”。关于艺术形式与数学语言形式的相同性，学界已经有过很多研究。比如，黄秦安认为，在艺术与数学语言的代码与信息的意义交换中，有共同的特征，“达到了实体与形式的分隔。这样提炼出来的形式可以进行形式化的处理”。审美对象的形式及其变化都有数学规律可循。在艺术创造和欣赏过程中，作者或审美主体往往自觉或不自觉地运用数学思维，因为艺术的规律离不开审美对象的数量变化规律。

　　此外，文学领域当然也有数学思维。比如，中国古诗尤其是格律诗，每一句都有固定的字数。这种审美创造和审美欣赏，当然也离不开数学规律。20世纪苏联数学家柯尔莫哥洛夫用数学方法对诗歌的节奏组织法进行研究，并创立了一门特殊的学科——艺术计量学。此外，雕塑、舞蹈等艺术领域显然也离不开数学思维。在历史上，音乐和绘画两个艺术领域更是能够反映出明显的艺术与数学思维的关系。艺术形式的数量规定性是数学思维沟通不同艺术类型的基础。

　　从数学思维的角度看，音乐并非仅是不同高度音声的排列。音乐的首要要素——旋律，也是一种数量关系。旋律指若干乐音经过艺术构思而形成的有组织、节奏的序列。这种序列由音高、时值和音量构成。构成旋律包含两个要素，即旋律线（或称音高线）和节奏。在连续的旋律进行中，由于音高的走向而形成各种直线或曲线的形状，这些形状类似画面中线条的伸展或起伏，故被称为旋律线。旋律线在时间的横轴上展开，相继发出的不同音高的音（即旋律线）和各种音乐节奏的长短、快慢、停顿等表现职能相结合时，旋律才能形成音乐的种种句法和结构。这里，可以把旋律看成是音乐的几何图形。所以，音乐创作和欣赏也有数学思维的因素。

　　由于数学思维的介入，使得艺术领域不同部门之间有了沟通的渠道。有人曾将乐曲改编为绘画作品，同样能够给人带来审美享受。因为二者蕴含了类似的数量变化规律。

　　数量变化规律与艺术教育

　　数量变化规律可以在艺术教育中得到运用。比如，在音乐教学中，教学手段也与数学相关，这也符合艺术中数学思维的规律。有学者主张儿童音乐教育应在“动”中而不是在“坐”中体验音乐。这种利用身体运动的音乐教学方法，其实可以还原成函数关系或几何学上的空间数量关系。比如，音高对应手势在空间的方向和位置；音响力度对应肌肉力度；音值用动作持续表示；休止用控制（停顿）表示；对位表示为不同动作、不同方位的对置；和弦是各种手势的结合；乐句就是动作段落；和声进行表示为各种手势结合的连续进行；曲式表示为运动在空间和时间中的分布状态；等等。这种身体运动完全可以用运动的（加入时间维度的）三维坐标表示出来。

　　此外，研究表明，音乐具有启迪心智的作用。其中，数学思维的训练，或至少是数学规律的运用，是起到一定作用的。音乐教育中的数学思维进一步表明了数学思维与艺术的密切联系。实际上，音乐教育的方法就是数学思维的方式之一——几何学空间思维的运用。

　　艺术离不开数学思维。艺术的形式有数量属性，艺术的和谐本质上是数量关系的和谐。因此，艺术的创造和欣赏活动渗透着数学思维，不同艺术部门的沟通可以借助于数学思维，而艺术的教育活动也得益于数学思维。

　　（本文系江苏省研究生科研与实践创新计划项目“透视学视野下的艺术与科学”（KYCX22_1522）阶段性成果）

　　（作者单位：南京师范大学美术学院）