数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一，而《九章筭术》是中国古代最重要的数学经典。

　　传本《九章筭术》含有西汉《九章筭术》本文、三国魏刘徽注和唐李淳风等注释三种内容。它有狭义和广义两种含义。狭义地说，仅指西汉张苍（？—前152）、耿寿昌（前1世纪）等编纂的《九章筭术》本文。广义地说，还包括刘徽注与李淳风等注释。刘徽在《九章筭术注》圆田术注中计算圆周率■=3.14，而3月14日被定为“国际数学日”也是由此而来。

　　《九章筭术》的内容与体例

　　《九章筭术》凡九卷，卷一方田，有各种面积公式及世界上最早最完整的分数四则运算法则。卷二粟米，是以今有术（今之三率法）为主体的比例算法。卷三衰分，是比例分配算法，还有若干可以归结到今有术的比例问题。卷四少广，是面积与体积问题的逆运算，最重要的是提出了世界上最早的开平方与开立方程序。卷五商功，是各种体积公式和土方工程工作量的分配算法。卷六均输，是赋税的合理负担算法，还有各种算术难题。卷七盈不足，是盈亏类问题的算法及其在其他计算问题中的应用。卷八方程，是现今之线性方程组解法，还有正负数加减法则及列方程的方法。卷九勾股，是勾股定理、解勾股形、勾股容方、勾股容圆以及简单的测望问题。它确立了中国古典数学的基本框架。

　　《九章筭术》含有近百条十分抽象的术文即公式、解法及246个例题。其中分数四则运算法则、比例和比例分配算法、盈不足算法、开方法、线性方程组解法、正负数加减法则及部分解勾股形方法等都超前于其他文化传统几百年甚至千余年，是具有世界意义的重大成就。

　　学术界通行《九章筭术》是一部应用问题集的说法。这种概括并不准确，实际上它的主要部分并不是一题、一答、一术的问题集，而是算法统率例题的形式。

　　关于《九章筭术》的术文与题目的关系，大体说来有以下几种情形。

　　1.一类问题的抽象性术文统率一个或几个例题。这类内容往往是一术一题或一术多题，甚或数术数题。这里又有不同的情形。

　　（1）先给出一道或几道例题，然后给出一条或几条抽象性术文。例题中只有题目和答案，没有术文。比如方田章列出3道分数加法的例题后给出了“合分术”即分数加法法则。方田章全部，粟米章2条经率术、其率术和反其率术，少广章开方术、开圆术、开立方术和开立圆术，商功章除城垣等术与刍童等术及其例题之外的全部内容，均输章均输4术，盈不足章两盈两不足术及其一术、盈适足不足适足术等3术，勾股章勾股术、勾股容方、勾股容圆和测邑5术等，都属于这种情形，共71术、102道例题。

　　（2）先给出抽象术文，再列出几道例题。例题只有题目和答案，亦没有术文。商功章城垣等术、刍童等术及其例题，盈不足章盈不足术及其一术便属于这种情形，共4术、14道例题。

　　（3）先给出抽象性总术，再给出若干例题。例题包含了题目、答案以及应用总术的术文。粟米章今有术及其31道例题，衰分章衰分术、返衰术及其9道例题，少广章少广术及其11道例题，盈不足章使用盈不足术解决的11个一般计算问题，以及方程章方程术、正负术、损益术及其18道例题，共7术（盈不足诸术不再计在内），80道例题。

　　这三种情形共82术、196道题目，约占全书的80%。在这里，术文是中心，是主体，都非常抽象严谨，而且具有普适性，换成现代符号就是公式或运算程序。题目是作为例题出现并依附于术文的。我们将其称为术文统率例题的形式。

　　2.应用问题集的形式

　　这类内容往往是一题一术。其术文的抽象程度也有所不同。

　　（1）关于一种问题的抽象性术文。比如均输章“凫雁”问，其术文虽未离开日数这种对象，但没有具体数字的运算，对同一种问题都是适应的。均输章长安至齐、牝牡二瓦、矫矢、假田、程耕、五渠共池等问术文，勾股章持竿出户等问术文也如此。

　　（2）具体问题的算草。衰分章的非衰分题目，均输章的非均输类的大部分题目，勾股章的大部分解勾股形问题及“立四表望远”等题目的术文都以具体数字入算，是不能离开题目而独立存在的。

　　这部分共有50个题目，全部是衰分章的非衰分类问题、均输章的非典型均输类问题，以及勾股章的解勾股形和立四表望远等问题。它们都以题目为中心，术文只是所依附的题目的解法或演算细草。

　　不言而喻，不能将《九章筭术》概括为“一题、一答、一术”的应用问题集。我们认为，数学史上起码存在过三种不同体例的著作，一是像欧几里得《原本》那样形成一个公理化体系；二是像丢番图《算术》那样的应用问题集，中国的《孙子算经》等著作也是如此；《九章筭术》的主体部分不同于这两者，而是第三种，即算法统率例题的形式。

　　不难看出，《九章筭术》的术不是一个层次的。它起码可以分成三个层次：一是一类问题的非常抽象、严谨且具有普适性的算法。二是一种问题的比较抽象的算法。三是具体问题的算草。

　　《九章筭术》的编纂

　　关于《九章筭术》的编纂不仅涉及《九章筭术》本身，而且涉及张苍等某些历史人物的定位，还关系到对先秦数学的认识，是中国数学史研究中的重大问题。《九章筭术》之名在现存史料中最先见于东汉光和二年（179）的大司农斛、权的铭文中，它在2世纪已成为官方规范度量衡器的经典，说明它的编纂成书要早得多。

　　（一）《九章筭术》编纂诸说。关于《九章筭术》的编纂主要有以下几种说法。刘徽《九章筭术·序》说：“周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”这是说，“九数”在先秦已发展成《九章筭术》，因暴秦焚书而散坏，西汉张苍、耿寿昌收集遗文，先后删补而成。这是现存史料中关于《九章筭术》编纂的最早记载。

　　唐赝本《夏侯阳筭经》、北宋贾宪、南宋荣棨、元莫若等认为《九章筭术》系黄帝或隶首所作。清戴震以“书内有长安、上林之名”，而“上林苑在武帝时”，否定张苍删补《九章筭术》，认为《九章筭术》的编订在西汉中叶之后。钱宝琮更将其推到公元1世纪下半叶。

　　戴震、钱宝琮等尽管有不同程度的考证，但都没有足以推翻刘徽论断的史料，比如上林苑，秦始皇时代就有。刘徽去古未远，不仅能师承前贤关于《九章筭术》编纂的可靠说法，而且能看到比戴震等人多得多的资料。

　　（二）“九数”与《九章筭术》。不管人们对《九章筭术》编纂看法多么相左，但都不否认《九章筭术》与“九数”有联系。《周礼·地官司徒》记载九数是贵族子弟所受六项基本教育之一。东汉末郑玄引东汉初郑众曰：“九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。今有重差、夕桀、勾股也。”“夕桀”系衍文。郑众认为“方田”至“旁要”是先秦固有的数学门类，“重差”“勾股”是汉代发展起来的。

　　西周初年的“九数”发展到春秋战国，成为二郑所说的九个分支。其算法大都是抽象性比较高的，是先秦人们抽象思维能力较强的反映。实际上，先秦典籍和出土文物中有若干九数的蛛丝马迹。《商君书》说“世主欲辟地治民”就必须“审数”。《管子》载管仲提出“相地相衰其政”。以正方形来衡量田地的面积是最直观的，当土地不是正方形时，《墨子》《孟子》都有“绝长补短”的记载，这是少广术的内容。《管子》谈到水土工程时要区分四季的“程功”即标准工作量。《管子》还说“上下相命，若望参表，则邪者可知也”，应是旁要的方法。

　　先秦“九数”与《九章筭术》的章名相比较，只有差分、赢不足、旁要三项有差异。其中前两者含义分别相同。“旁要”与“勾股”差异较大，但据北宋贾宪的提示，旁要包括勾股术、勾股容方、勾股容圆和简单的测望问题（主要是测邑方诸问）等内容。

　　前面关于《九章筭术》体例的分析说明，其中采取术文统率例题形式的三种情形覆盖了方田、粟米、少广、商功、盈不足、方程等六章的全部以及衰分章的衰分问题、均输章的均输问题和勾股章的勾股术、勾股容方、勾股容圆、测邑等问题。而采取应用问题集形式的内容则是余下的衰分章的非衰分类问题、均输章中的非均输类问题，以及勾股章解勾股形和立四表望远等问题。这部分内容不仅体例、风格与术文统率例题的部分完全不同，而且衰分章、均输章中这些题目的性质与篇名不协调，编纂思想也有较大的差异，是明显的补缀。那么若将这三章剔除这些内容，并将卷九恢复“旁要”的篇名，则《九章筭术》余下的内容不仅完全与篇名相符，都采取术文统率例题的形式，而且与二郑所说的“九数”惊人的一致。这无可辩驳地证明，郑众所说的“九数”在春秋战国时期确实存在，刘徽所说“九数之流，则《九章》是矣”是言之有据的。换言之，在先秦，确实存在着一部由“九数”发展而来的以传本《九章筭术》的主体部分为基本内容，主要采取术文统率例题形式的《九章筭术》。

　　（三）《九章筭术》中的物价所反映的时代。日本堀毅《秦汉法制史考论》中的《秦汉物价考》一文考证了《九章筭术》中的物价所反映的时代。他认为，“《九章筭术》基本上反映出战国、秦时的物价”。尤其是劳动收入的相近对证实上述结论具有很大的意义。因此，《九章筭术》从整体上反映了战国与秦代的物价水平，而不是汉代的物价水平。这为刘徽的说法提供了新的佐证。只是堀毅仍沿袭《九章筭术》公元1世纪成书说，使其论述难以自洽。

　　（四）刘徽关于《九章筭术》编纂的论述是正确的。否定刘徽关于张苍删补《九章筭术》的论述的最重要论据就是汉武帝时才实行均输法。事实上，《盐铁论》提到的两种均输中，古之均输与《九章筭术》的均输法相类似，而汉武帝时推行的今之均输与此不同。与《筭数书》同时出土的竹简中有均输律。阜阳双古堆西汉文帝时的一个墓葬中出土的数学著作的残简上，有一题是《九章筭术》均输章第一问的残文。这都从根本上推翻了戴震等人否定刘徽论述的论据。

　　此外，刘徽具有实事求是的严谨学风，他如果没有看到张苍等删补《九章筭术》的确凿记载，对《九章筭术》的编纂这样严肃的问题，是绝对不可能信口开河的。

　　张苍等整理《九章筭术》的指导思想是荀派儒学。荀子、张苍、贾谊是嫡传的师生关系。贾谊是西汉初荀派儒学的主要代表人物，可见张苍是信奉荀派儒学的。《荀子·儒效》将学问分成闻、见、知、行四个层次，而“学至于行而止矣”。而《九章筭术》具有长于计算，以算法为中心，算法以解决实际问题为根本目的等特点，表现了“实事求是”的作风，正是接受了荀子的唯物主义思想。

　　（作者系中国科学院自然科学史研究所研究员）